可以，但有限制。只有已满八周岁的子女，才有选择抚养权人的权利。《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》规定，父母一方要求变更子女抚养关系，且子女已满八周岁，愿随另一方生活，该方又有抚养能力的，人民法院应予支持。若不满足此条件，送养人不能自行选择收养人。
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常见的处理方式有两种：一是协商，二是诉讼。协商是首选，双方达成一致即可；若协商不成，可通过诉讼方式解决，需准备相关证据材料，通过法律途径争取自身权益。
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能，但有条件。